Cum aduni fracții cu numitori diferiți, pas cu pas
Numitorul comun, amplificarea și simplificarea explicate pe exemple rezolvate complet, de la două fracții simple până la numere mixte și trei fracții.
Pe această pagină
Fracțiile cu același numitor se adună ușor: 27 + 37 = 57. Adunăm șeptimi cu șeptimi, ca mere cu mere. Problema apare când numitorii diferă, de exemplu 23 + 14: treimile și sferturile sunt „bucăți” de mărimi diferite și nu se pot aduna direct. Soluția este să tăiem ambele fracții în bucăți de aceeași mărime. Asta înseamnă, de fapt, aducerea la același numitor.
Calculator cu fracțiiOperații cu fracții, cu pașii explicațiDeschide calculatorulIdeea de bază: fracțiile echivalente
Dacă înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr nenul, valoarea ei nu se schimbă. Operația se numește amplificare, iar fracțiile obținute sunt fracții echivalente:
23 = 46 = 69 = 812
Gândește-te la o pizza: dacă o tai în 3 felii și iei 2, mănânci la fel de mult ca atunci când o tai în 12 felii și iei 8. Operația inversă, împărțirea numărătorului și numitorului la același divizor, se numește simplificare. Cu aceste două unelte rezolvi orice adunare sau scădere de fracții.
Metoda în patru pași
- Găsești numitorul comun, de preferat cel mai mic: c.m.m.m.c. al numitorilor.
- Afli cu cât amplifici fiecare fracție: împarți numitorul comun la numitorul fracției. Rezultatul se scrie de obicei mic, deasupra fracției, în stânga.
- Aduni sau scazi numărătorii și păstrezi numitorul comun.
- Simplifici rezultatul și, dacă e fracție supraunitară, scoți întregii.
Exemplul 1: 23 + 14
Numitorii 3 și 4 nu au divizori comuni (sunt prime între ele), deci c.m.m.m.c.(3, 4) = 3 × 4 = 12. Prima fracție se amplifică cu 12 : 3 = 4, a doua cu 12 : 4 = 3:
23 + 14 = 812 + 312 = 1112
c.m.m.d.c.(11, 12) = 1, deci 1112 este ireductibilă. Gata.
Exemplul 2: 56 + 38
Aici produsul numitorilor, 48, ar merge, dar nu e cel mai mic numitor comun. Descompunem în factori primi: 6 = 2 · 3 și 8 = 2³. C.m.m.m.c. se obține luând factorii comuni și necomuni, fiecare la puterea cea mai mare: 2³ · 3 = 24.
Amplificăm 56 cu 24 : 6 = 4 și 38 cu 24 : 8 = 3:
56 + 38 = 2024 + 924 = 2924 = 1 524
Verificare cu zecimale: 0,833 + 0,375 = 1,208, iar 29 : 24 ≈ 1,208. Rezultatele coincid.
Exemplul 3, cu scădere: 710 − 415
10 = 2 · 5 și 15 = 3 · 5, deci c.m.m.m.c. = 2 · 3 · 5 = 30. Amplificăm cu 3 și, respectiv, cu 2:
710 − 415 = 2130 − 830 = 1330
Exemplul 4, cu simplificare la final: 16 + 13
Când un numitor se împarte exact la celălalt, numitorul comun este chiar cel mai mare dintre ei, aici 6. Doar a doua fracție se amplifică, cu 2:
16 + 26 = 36 = 12
Rezultatul 36 nu e greșit, dar nu este forma finală. La școală se cere aproape întotdeauna fracția ireductibilă, deci simplifici cu c.m.m.d.c.(3, 6) = 3.
Trei moduri de a găsi numitorul comun
- Lista multiplilor, bună pentru numere mici: multiplii lui 4 sunt 4, 8, 12, 16…, ai lui 6 sunt 6, 12, 18…; primul comun este 12.
- Descompunerea în factori primi, metoda sigură pentru numere mai mari: factori comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.
- Prin c.m.m.d.c.: c.m.m.m.c.(a, b) = a · b : c.m.m.d.c.(a, b). Pentru 12 și 18: 12 · 18 : 6 = 36.
Două scurtături: dacă numitorii sunt prime între ele (3 și 4, 5 și 9), numitorul comun este produsul lor; dacă unul îl divide pe celălalt (4 și 12), numitorul comun este cel mai mare.
Numere mixte
Un număr mixt, ca 3 12, înseamnă 3 întregi și o jumătate. Ai două metode.
Metoda 1: transformi în fracții supraunitare
Calculăm 3 12 − 1 34. Transformăm: 3 12 = 3 · 2 + 12 = 72 și 1 34 = 74. Apoi:
72 − 74 = 144 − 74 = 74 = 1 34
Metoda 2: întregii separat de fracții
Aducem la același numitor doar partea fracționară: 3 24 − 1 34. Pentru că 24 este mai mic decât 34, „împrumutăm” un întreg: 3 24 = 2 64. Acum 2 64 − 1 34 = 1 34.
Metoda 2 e mai rapidă la adunări cu numere mari de întregi (12 13 + 5 13 = 17 23), iar metoda 1 e mai sigură la scăderi, unde e ușor să uiți împrumutul.
Trei sau mai multe fracții
Pașii sunt aceiași, doar că numitorul comun trebuie să fie multiplu al tuturor numitorilor. Pentru 12 + 23 + 34, c.m.m.m.c.(2, 3, 4) = 12:
612 + 812 + 912 = 2312 = 1 1112
Dacă expresia conține și înmulțiri sau împărțiri, acestea se fac înaintea adunărilor, ca la orice calcul. Calculatorul de fracții acceptă trei fracții și respectă această ordine.
Un exemplu din bucătărie
O rețetă cere 34 cană de făină pentru blat și 23 cană pentru cremă. Cât în total? Numitorul comun este 12: 912 + 812 = 1712 = 1 512 căni, adică puțin peste o cană și o treime (o treime înseamnă 412). Dacă dublezi rețeta, înmulțești cu 2: 176 = 2 56 căni.
Cum verifici rezultatul fără calculator
Două verificări simple prind aproape toate greșelile. Prima este estimarea: 56 e aproape 1, 38 e puțin peste o treime, deci suma trebuie să fie cam 1,2. Un rezultat ca 814 (mai mic decât 1) e clar greșit. A doua este proba prin operația inversă: dacă 710 − 415 = 1330, atunci 1330 + 415 trebuie să dea înapoi 710. Într-adevăr, 1330 + 830 = 2130 = 710. Proba durează mai puțin de un minut și e utilă mai ales la teze, unde nu ai calculator.
Greșeli frecvente
- Aduni numitorii. 12 + 13 nu este 25. Verificare rapidă: 25 e mai mic decât 12, dar am adunat ceva pozitiv la 12. Rezultatul corect este 56.
- Amplifici doar numitorul. Dacă numitorul se înmulțește cu 4, și numărătorul se înmulțește cu 4.
- Uiți să simplifici. 68 trebuie scris 34.
- Simplifici termeni, nu factori. În 3 + 53 + 7 nu poți tăia 3 cu 3. Calculezi întâi: 810 = 45.
- Semnul la scădere cu numere mixte. 4 − 13 nu este 4 13, ci 3 23.
După ce rezolvi singur un exercițiu, îl poți verifica în calculatorul de fracții: afișează numitorul comun, cu cât s-a amplificat fiecare fracție și simplificarea finală, deci vezi exact la ce pas ai greșit, dacă ai greșit. Pentru verificări cu zecimale, calculatorul online e suficient.
Întrebări frecvente
Trebuie să folosesc cel mai mic numitor comun?
Nu e obligatoriu: orice multiplu comun dă rezultatul corect. Cel mai mic numitor comun înseamnă însă numere mai mici și mai puțină simplificare la final.
Cum aflu c.m.m.m.c. a două numere?
Descompui numerele în factori primi și iei factorii comuni și necomuni, fiecare la puterea cea mai mare. Pentru 6 = 2 · 3 și 8 = 2³, c.m.m.m.c. = 2³ · 3 = 24.
Surse
Calculator cu fracțiiOperații cu fracții, cu pașii explicațiDeschide calculatorulArticol informativ. Pentru situații particulare, consultă un specialist (contabil, consultant financiar, medic). Ai găsit o informație depășită? Scrie-ne la [email protected].